例1  在正方体A₁B₁C₁D₁—ABCD中，求证：对角线B₁D⊥平面A₁C₁D．

证明  如图1-108，连B₁D₁，

∵DD₁⊥平面A₁B₁C₁D₁

∴D₁B₁是DB₁在平面A₁B₁C₁D₁上的射影，又∵D₁B₁⊥A₁C₁(正方形对角线互相垂直)，据三垂线定理

∴DB₁⊥A₁C₁

连AB₁，同理可证，DB₁⊥A₁B，∵A₁C₁与A₁B相交，

所以有DB₁⊥平面A₁C₁B．

评注  熟练使用三垂线定理及其逆定理解题，不仅要求掌握它在水平平面上使用，而且要求学会在非水平放置的平面上使用．

例2  如图1-109，底面是等腰三角形，侧面都是矩形的几何体中，侧面对角线A₁B⊥AC₁．且A₁C₁=B₁C₁．求证：A₁B⊥B₁C

分析  当证明A₁B与B₁C异面直线互相垂直，使我们联想到三垂线定理的功能，有如下证法．

证明  在底面A₁B₁C₁中，作C₁D₁⊥A₁B₁于D₁，C₁A₁=C₁B₁，则A₁D₁=D₁B₁，又侧面都是矩形，有

AA₁∥BB₁∥CC₁

在下底面ABC中，作CD⊥AB于D，则AD=DB，同理得CD⊥面A₁ABB₁

连D₁A，B₁D，显然D₁A∥B₁D

∵D₁A是C₁A在面A₁ABB₁内的射影，又A₁B⊥AC₁(已知)，由三垂线定理的逆定理得A₁B∥D₁A

∵D₁A⊥B₁D，

∴A₁B⊥B₁D

又B₁D是B₁C在面A₁ABB₁内的射影，A₁B⊥B₁D，由三垂线定理，知B₁C⊥A₁B．

评注  )对于非正常位置的图形上运用三垂线定理或逆定理时，要掌握其规律，首先通过分析，观察确定垂面，抓住斜线，再抓住斜足、垂足、联成射影．最后查垂面内的线．这样，由面找线，可化难为易，解决问题．

(2)为证明A₁B与B₁C异面直线垂直，可采用“平移”构造可解的三角形，为便于观察，可补上一个相同的几何体，请读者自行完成．

(3)本题可作如下推广：将条件中A₁B⊥AC₁改为A₁B与AC₁异面直线所成的角为α，结论中B₁⊥A₁B改为B₁C与A₁B所成的角为α．

例3  图1-110，MA⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，且MA=AB=A．试求：

(1)点M到BD的距离；

(2)求异面直线MB与AC所成的角．

解  )取正方形ABCD对角线交点为O，连MO，

∵MA⊥平面ABCD(已知)

又∵AO⊥BD(正方形对角线互相垂直)

∴MO⊥BD(三垂线定理)

∴MO是点M到直线BD的距离．

(2)如图1-111，

延长DA至D₁使DA=AD₁，连接D₁B，D₁M，则有AC∥D₁B，

故△MD₁B是等边△，

从而∠MBD₁=60°即为所求异面直线MB与AC所成的角．

评注  题(2)小题使用一种常用方法：“割补法”，通过作出AC的平行线D₁B，得到了两条异面直线所成的角，使问题得以解决，应学会使用这种方法．

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